Модуль math: математические функции Python

Модуль math в Python содержит математические функции и константы для работы с числами: корни, логарифмы, тригонометрию, округление, факториал и комбинаторику. Из статьи вы узнаете, как подключить модуль, чем его функции отличаются от встроенных операторов и какие ошибки чаще всего возникают при вычислениях с дробными числами.

Подключение модуля и константы

Модуль входит в стандартную библиотеку, устанавливать его не нужно. Обычно пишут import math и обращаются к функциям через точку. Если в коде нужны одна-две функции, их можно импортировать по имени, тогда префикс не требуется. Подробнее о вариантах импорта в статье про импорт библиотек.

import math
from math import sqrt, pi

print(math.sqrt(16))  # 4.0
print(sqrt(2))        # 1.4142135623730951
print(pi)             # 3.141592653589793

Кроме функций, в модуле есть пять констант. Они хранятся как числа float с точностью около 15-17 значащих цифр.

math.inf удобно брать как стартовое значение при поиске минимума, а -math.inf при поиске максимума. С math.nan есть особенность: это значение не равно даже самому себе, поэтому проверять его нужно функцией math.isnan(), а не через ==.

Округление и отбрасывание дробной части

Для округления в модуле три функции, и все они возвращают int. Разница видна на отрицательных числах, где легко ошибиться.

Типичная задача на ceil: сколько страниц нужно, чтобы показать 103 товара по 20 на странице. Обычное деление дает 5.15, а страниц нужно 6.

import math

items, per_page = 103, 20
print(math.ceil(items / per_page))  # 6
print(math.floor(-2.5), math.trunc(-2.5))  # -3 -2

Встроенная round() использует банковское округление: половина округляется к ближайшему четному, поэтому round(2.5) дает 2. Если нужно округление до заданного числа знаков или по школьному правилу, смотрите разбор в статье об округлении чисел в Python.

Степени, корни и логарифмы

Функция math.sqrt(x) возвращает квадратный корень в виде float. Для целых чисел есть math.isqrt(n): она возвращает целую часть корня как int и не теряет точность на очень больших числах. С версии 3.11 появилась math.cbrt(x) для кубического корня.

import math

print(math.sqrt(26))    # 5.0990195135927845
print(math.isqrt(26))   # 5
print(math.cbrt(27))    # 3.0 (Python 3.11+)
print(math.pow(2, 10))  # 1024.0
print(2 ** 10)          # 1024

math.pow() всегда приводит аргументы к float и возвращает float. Оператор ** и встроенная pow() для целых чисел возвращают точный int любой длины, поэтому 10 ** 400 считается, а math.pow(10, 400) вызывает OverflowError. Для целочисленных степеней лучше использовать **.

Логарифмы считаются функцией math.log(x, base). Без второго аргумента она дает натуральный логарифм. Для оснований 2 и 10 есть отдельные функции log2() и log10(), они точнее, чем log(x, 2). Обратная операция к натуральному логарифму - math.exp(x).

print(math.log(math.e))   # 1.0
print(math.log2(1024))    # 10.0
print(math.log10(0.001))  # -3.0
print(math.log(81, 3))    # 4.0
print(math.exp(2))        # 7.38905609893065

Аргумент вне области определения вызывает ValueError с текстом math domain error. Это бывает при math.sqrt(-1), math.log(0) или math.acos(2). Для корней из отрицательных чисел используют модуль cmath, он работает с комплексными числами: cmath.sqrt(-4) вернет 2j.

Тригонометрия и геометрия

Тригонометрические функции sin, cos, tan принимают угол в радианах. Угол в градусах сначала переводят функцией math.radians(), обратный перевод делает math.degrees(). Обратные функции asin, acos, atan возвращают результат тоже в радианах.

import math

angle = math.radians(30)
print(round(math.sin(angle), 4))  # 0.5
print(math.degrees(math.pi / 4))  # 45.0
print(math.sin(math.pi))          # 1.2246467991473532e-16, а не 0

Последняя строка показывает погрешность float: синус пи должен быть нулем, но math.pi хранится приближенно. Результаты таких вычислений округляют или сравнивают через math.isclose().

Для геометрии пригодятся три функции. math.hypot(x, y) считает длину гипотенузы, math.dist(p, q) - евклидово расстояние между двумя точками любой размерности, math.atan2(y, x) - угол точки относительно начала координат с учетом четверти.

print(math.hypot(3, 4))                # 5.0
print(math.dist((1, 2), (4, 6)))       # 5.0
print(math.degrees(math.atan2(-1, -1)))  # -135.0

Целые числа и комбинаторика

Этот блок функций работает только с целыми числами. math.factorial(n) вычисляет n!, а с Python 3.10 при передаче float вроде 5.0 выдает TypeError. math.gcd() находит наибольший общий делитель, math.lcm() наименьшее общее кратное. С версии 3.9 обе функции принимают любое количество аргументов.

import math

print(math.factorial(5))     # 120
print(math.gcd(24, 36, 60))  # 12
print(math.lcm(4, 6, 10))    # 60
print(math.comb(5, 2))       # 10
print(math.perm(5, 2))       # 20

math.comb(n, k) возвращает число сочетаний: сколькими способами выбрать k элементов из n без учета порядка. math.perm(n, k) считает размещения, где порядок важен. Например, выбрать двух дежурных из пяти человек можно 10 способами, а назначить из пяти человек старосту и заместителя 20 способами.

Для последовательностей чисел есть math.prod(), произведение элементов, и math.fsum(), сумма без накопления ошибки округления. Встроенная sum() складывает float по очереди, и погрешность растет с каждым шагом.

nums = [0.1] * 10
print(sum(nums))        # 0.9999999999999999
print(math.fsum(nums))  # 1.0
print(math.prod([2, 3, 4]))  # 24

Сравнение дробных чисел и проверки

Числа float хранятся в двоичном виде, и многие десятичные дроби в нем не представимы точно. Поэтому 0.1 + 0.2 == 0.3 дает False. Для сравнения используют math.isclose(a, b), которая проверяет близость с относительной погрешностью rel_tol=1e-09 по умолчанию.

import math

print(0.1 + 0.2 == 0.3)              # False
print(math.isclose(0.1 + 0.2, 0.3))  # True
print(math.isclose(1e-12, 0))        # False
print(math.isclose(1e-12, 0, abs_tol=1e-9))  # True

При сравнении с нулем относительная погрешность не работает: любое ненулевое число относительно нуля бесконечно далеко. В этом случае задают абсолютный допуск abs_tol, как в последней строке примера.

Функции math.isnan(), math.isinf() и math.isfinite() проверяют специальные значения. Они полезны при обработке данных, где после деления или чтения файла могут появиться nan и бесконечности. Полный список функций с описанием есть в официальной документации.

Частые вопросы

Ответы на вопросы, которые возникают при работе с модулем math.

Чем math.sqrt отличается от x ** 0.5?

Результат для положительных чисел совпадает, оба возвращают float. Разница в отрицательных числах: math.sqrt(-4) вызывает ValueError, а (-4) ** 0.5 молча возвращает комплексное число. Явная ошибка помогает раньше заметить некорректные данные.

Работает ли math со списками и массивами?

Нет, функции модуля принимают одно число. Чтобы применить функцию ко всему списку, используют генератор списка: [math.sqrt(x) for x in data]. Для больших массивов быстрее NumPy, где np.sqrt() обрабатывает весь массив сразу.

Почему math.floor и math.ceil возвращают int, а sqrt float?

Округление по определению дает целое число, поэтому с Python 3 эти функции возвращают int. Корень, логарифм и тригонометрия в общем случае дробные, поэтому возвращают float даже для точных значений вроде math.sqrt(16).

Как вычислить среднее или медиану?

В math таких функций нет. Для статистики есть модуль statistics: statistics.mean(), statistics.median(), statistics.stdev(). Об основных числовых типах и операциях над ними рассказано в статье числа в Python 3.